Python实现求解最大公约数的五种方法总结

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求最大公约数是习题中比较常见的类型,下面小编会给大家提供五种比较常见的算法,记得帮忙点个赞哦!

一般来说,最大公约数的求法大概有5种

方法一:短除法

短除法是求最大公因数的一种方法,也可用来求最小公倍数。求几个数最大公因数的方法,开始时用观察比较的方法,即:先把每个数的因数找出来,然后再找出公因数,最后在公因数中找出最大公因数。后来,使用分解质因数法来分别分解两个数的因数,再进行运算。之后又演变为短除法。短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数,以此类推,除到两个数的商是互质数为止。

简单来说就是逐步找出两个数的所有公约数,再将这些公约数累乘起来,就能得到最大公约数啦!

a=int(input("please input the first number:"))
b=int(input("please input the second number:"))
m,n=a,b #  创建两个变量存储a和b
t=1 #  创建t作为最大公约数的载体
for i in range(2,min(a,b)):
    while (a%i==0 and b%i==0):
       t*=i #  所有公约数累乘起来
       a/=i
       b/=i
print((f"{m},{n}的最大公约数为:{t}"))

这种方法虽然有点麻烦,但是逻辑却很清楚,不容易出错。

方法二:欧几里得算法(辗转相除法)

欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。古希腊数学家欧几里得在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里得算法。      

假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法,是这样进行的:

1997 / 615 = 3······152

615 / 152 = 4······7

152 / 7 = 21······5

7 / 5 = 1······2

5 / 2 = 2······1

2 / 1 = 2······0

至此,最大公约数为1

以除数和余数反复做除法运算,当余数为 0 时,取当前算式除数为最大公约数,所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

明白了这其中的逻辑,我们就可以着手开始写程序啦!

a=int(input("please input the first number:"))
b=int(input("please input the second number:"))
#  首先要给两数排序,保证大数除以小数
m=max(a,b)
n=min(a,b)
t=m%n
while t!=0:
    m,n=n,t #  仔细观察不难发现:每个除式的m、n是都是上一个式子的n和余数
    t=m%n #  更新余数
print(f"{a}和{b}的最大公约数为{n}")

当然了,递归方法也能实现欧几里得算法。

def GCD(a,b):
    #  比较大小,保证大数除以小数
    if a<b:
        a,b=b,a
    #  判断是否能整除,若能整除,直接返回被除数
    if a%b==0:
        return b
    #  若不能整除,则返回函数GCD,参数做相应变化
    else:
        return GCD(b,a%b)
a=int(input("please input the first number:"))
b=int(input("please input the second number:"))
gcd=GCD(a,b)
print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")

方法三:更相减损术

更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法,它原本是为约分而设计的,但它适用于任何需要求最大公约数的场合。原文是:

可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。     

白话文译文:

(如果需要对分数进行约分,那么)可以折半的话,就折半(也就是用2来约分)。如果不可以折半的话,那么就比较分母和分子的大小,用大数减去小数,互相减来减去,一直到减数与差相等为止,用这个相等的数字来约分。

具体步骤:

第一步:任意给定两个正整数;判断它们是否都是偶数。若是,则用2约简;若不是则执行第二步。

第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”,就是公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。

现在使用更相减损术求98与63的最大公约数。

解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减:

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以,98和63的最大公约数等于7。

a=int(input("please input the first number:"))
b=int(input("please input the second number:"))
#  首先要给两数排序,保证大数减小数
m=max(a,b)
n=min(a,b)
#  判断两数是否都是偶数,如果都是偶数就同时除2
while m%2==0 and n%2==0:
    m,n=m/2,n/2
t=m-n
#  判断条件是减数和差相等
while n!=t:
    m,n=max(n,t),min(n,t) #  每减一轮之后,都要重新判断减数和差的大小,再次以大数减去小数
    t=m-n
print(f"{a}和{b}的最大公约数为{n}")

方法四:穷举法(枚举法)

从两个数中较小数开始,由小到大列举,找出公约数并保证该公约数也属于较大数,这些公约数的最大者就是最大公约数;也可以从大到小列举,直到找出公约数后跳出循环,该公约数即是最大公约数。

a=int(input("please input the first number:"))
b=int(input("please input the second number:"))
p,q=min(a,b),max(a,b)
lst=[]
for i in range(1,p+1):
    if p%i==0 and q%i==0:
        lst.append(i)
gcd=max(lst)
print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")
 
#a=int(input("please input the first number:"))
#b=int(input("please input the second number:"))
#p,q=min(a,b),max(a,b)
#gcd=0
#for i in range(p,0,-1):
#    if p%i==0 and q%i==0:
#        gcd=i
#        break
#print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")

方法五:Stein算法

Stein算法是一种计算两个数最大公约数的算法,是针对欧几里德算法在对大整数进行运算时,需要试商导致增加运算时间的缺陷而提出的改进算法。

欧几里得算法缺陷:

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷,这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的,只有在大素数时才会显现出来。

一般实际应用中的整数很少会超过64位(当然已经允许128位了),对于这样的整数,计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

看下面两个结论:

gcd(a,a)=a,也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。

gcd(ka,kb)=k gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

当k与b互为质数,gcd(ka,b)=gcd(a,b),也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地,当k=2时,说明计算一个偶数 和一个奇数的最大公约数时,可以先将偶数除以2。

:param a: 第一个数

:param b: 第二个数

:return: 最大公约数

def gcd_Stein(a, b):
    #  保证b比a小
    if a < b:
        a, b = b, a
    if (0 == b):
        return a
    #  a、b都是偶数,除2右移一位即可
    if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:
        return 2 * gcd_Stein(a / 2, b / 2)
    #  a是偶数
    if a % 2 == 0:
        return gcd_Stein(a / 2, b)
    #  b是偶数
    if b % 2 == 0:
        return gcd_Stein(a, b / 2)
    #  都是奇数
    return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2)
 
a=int(input("please input the first number:"))
b=int(input("please input the second number:"))
gcd=int(gcd_Stein(a,b))
print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")

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