Golang实现快速求幂的方法详解

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今天讲个有趣的算法:如何快速求nm,其中n和m都是整数。

为方便起见,此处假设m>=0,对于m< 0的情况,求出n|m|后再取倒数即可。

另外此处暂不考虑结果越界的情况(超过 int64 范围)。

当然不能用编程语言的内置函数,我们只能用加减乘除来实现。

n的m次方的数学含义是:m个n相乘:n*n*n...*n,也就是说最简单的方式是执行 m 次乘法。

直接用乘法实现的问题是性能不高,其时间复杂度是 O(m),比如 329要执行29次乘法,而乘法运算是相对比较重的,我们看看能否采用什么方法将时间复杂度降低。

设m = x + y + z(x、y、z 都是整数),我们知道有如下数学等式: nm= nx+y+z = nx∗ny∗nz

也就是说,如果我们已经知道 nx、ny、nz的值,是不是就可以直接用他们相乘得出 nm的结果?这样的话乘的次数就大大降低了。

于是问题就变成应该将 m 拆成怎样的几个数的和。

因为计算机是玩二进制的,我们尝试着将这些数跟 2 扯上联系(以 2 为底),看看会不会有奇迹发生。

我们看看具体的例子:329

我们将29做这样的拆分:29 = 16 + 8 + 4 + 1。

这个拆分有什么特点呢?右边的数都是 2 的 X 次方(24+23+22+20)。

我们把上面的拆分带进公式:329=316∗38∗34∗31

那我们能不能知道 316、38、34、31是什么呢?

我们不用计算就知道31是什么——但仅此而已。

不过我们可以用 31自乘 4 次的到34;然后再用 34自乘得到38;再通过38自乘得到316

好像有点感觉了——我们每做一次乘法,就能将结果翻倍(如 34自乘就变成 34∗34=38)。

如此,虽然也要多次乘法,但乘的次数从29次降到9次!

然后我们再回头看看上面的拆分:

29 =16+8+4+1=24+23+22+20= 1∗24+1∗23+1∗22+0∗21+1∗20

这不就是学校学的二进制转十进制吗(29 的二进制是 11101)?

329=316∗38∗34∗31是说:取 29 的二进制表示中所有值是 1 的位,算出它们的指数值并相乘就得到最终的值。

我们用 go 语言实现一下:

// 求 a 的 n 次方
// a、n 是非负整数
func Pow(a,n int64) int64 {
	// 0 的任何次方都是 0
	if a == 0 {
		return 0
	}
	
	// 任何数的 0 次方都是 1
	if n == 0 {
		return 1
	}

	// 1 次方是它自身
	if n == 1 {
		return a
	}

	// 用滚雪球的方式计算幂
	// 雪球初始值是 1
	var result int64 = 1
	// 滚动因子初始化为 a 的 1 次方(a 自身)
	factor := a
	// 循环处理直到 n 变成 0(所有的二进制位都处理完了)
	for n != 0 {
		// 跟 1 做与运算,判断当前要处理的位是不是 1
		// 之所以是直接跟 1 做与运算,因为后面每处理一轮都将 n 右移了一位,保证每次要处理的位都在最低位
		if n & 1 != 0 {
			// 当前位是 1,需要乘进去
			result *= factor
		}
		// 每轮结束时将滚动因子自乘
		// 因为每行进一轮,指数都翻倍,整体结果就是自乘
		// 比如本轮因子是 2**4,下一轮就是 2**8
		// 2**8 = 2**(4+4) = 2**4 * 2**4
		// (** 表示指数)
		factor *= factor
		// n 右移一位,将下一轮要处理的位放在最低位
		n = n >> 1
	}
	
	return result
}

有什么用呢

很多语言内置的 pow 函数都只接受浮点数,浮点数的运算是非常重的,如果我们的程序需要频繁计算整数的幂,就可以采用 quick pow 算法代替语言内置的幂函数以提升性能。

我们对 go 语言内置的 math.Pow 和 quick pow 算法做个性能测试对比一下。

// 测试 3 的 29 次方的性能测试
var benchPowB int64 = 3
var benchPowP int64 = 29

// 上面的 quick pow 算法
func BenchmarkQuickPow(b *testing.B)  {
	for i := 0; i < b.N; i++ {
		algo.Pow(benchPowB, benchPowP)
	}
}

// go 语言 math 包的 Pow 方法,只接受 float64 类型
func BenchmarkInnerPow(b *testing.B)  {
	x := float64(benchPowB)
	y := float64(benchPowP)
	for i := 0; i < b.N; i++ {
		math.Pow(x, y)
	}
}

// 用简单乘法实现(3 自乘 29 次)
func BenchmarkSimpleMulti(b *testing.B) {
	for i := 0; i < b.N; i++ {
		var r int64 = 1
		var j int64 = 0
		for ; j < benchPowP; j++ {
			r *= benchPowB
		}
	}
}

测试结果:

goos: darwin
goarch: amd64
cpu: Intel(R) Core(TM) i7-7700HQ CPU @ 2.80GHz
BenchmarkQuickPow-8           357897716                3.373 ns/op
BenchmarkInnerPow-8           39162492                29.30 ns/op
BenchmarkSimpleMulti-8          121066731                9.549 ns/op
PASS
ok      command-line-arguments  4.894s

从性能测试结果看,quick pow 算法比简单乘法快了好几倍,比 math.pow 快了近 10 倍。

所以,如果程序只需要求整数幂,而且能确保计算结果不会越界时,可以考虑使用 quick pow 算法代替语言内置的浮点函数。

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